CLASE TRES

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR MEDIO DE TEOREMAS Y DE MAPAS DE KARNAUGH

Repaso clase dos

EL álgebra booleana utiliza éstos postulados o teoremas para simplificar o reducir expresiones de

tal manera que sea más comprensible, al igual que los teoremas 7, 8 en honor al matemático que

los descubrió llamado De Morgan.

Teoremas:

1: A + A = A

2: A • A = A

3: A + 0 = A

4: A • 1 = A

5: A • 0 = 0

6: A + 1 = 1

7: (A + B)’ = A’ • B’

8: (A • B)’ = A’ + B’

9: A + A • B = A

10: A • (A + B) = A

11: A + A’B = A + B

12: A’ • (A + B’) = A’B’

13: AB + AB’ = A

14: (A’ + B’) • (A’ + B) = A’

15: A + A’ = 1

16: A • A’ = 0

Su demostración se hace a partir de operaciones con las compuertas reemplazando las variables

con cero(0) o uno (1) en las entradas si la variable vale 1 ó 0 se deja fija ya que será una variable

que vale 1 ó 0 según el caso.

Demostración:

Para el caso del teorema 3.

Teorema A+0 = A

A puede valer 0 ó 1

Luego, reemplazando a A tenemos 0+0=0, 1+0=1 significa que A siempre va a tomar el valor con el

cual se reemplace la variable A, por lo que A puede valer 0 ó 1.

Ejemplo 2

Aplicar los teoremas para resolver la función lógica de la siguiente tabla lógica:

Solución:

Podemos iniciar con los ceros o con los unos porque está en la función de salida F en igual 

cantidad, para el primer valor de cero equivale a X’ Y’ y para el segundo valor de 0 tenemos

X’Y, además para el tercer valor de 1 es XY’ y para el cuarto valor de 1 seria XY, entonces usando 

los dos valores que están 1 queda que la expresión es:

F = XY’ + XY

Sacando factor común,

F = X ( Y’ + Y)

Aplicando el teorema 13 

F = X

Ejemplo 3

Determine la salida de la siguiente expresión algebraica F = X ́Y’ Z’ + X’ Y’Z + X’ Y’ Z

Solución:

Primero extraemos el factor común,

X’ Y’ ( Z’ + Z + Z) = F

Luego aplicamos el teorema 1.

X’ Y’ ( Z’ + Z) = F

Usando el teorema 15 en el paréntesis,

X’ Y’ (1) = F

X’ Y’ = F 

Ejemplo 4

Realizar la tabla para la expresión algebraica siguiente:

X = ABC’ + A.B + ABC

Solución:

Podemos decir al comparar los valores de la tabla que X = AB ya que son iguales

Para comprobar sacamos factor común en la expresión algebraica así:

X = AB ( C’ + 1 + C)

Aplico teorema 15, haciendo C’ + 1 = 1 y lo reemplazo en la expresión, queda

X = AB (1 + C)

Aplico teorema 6 a (1 + C) = 1 y lo reemplazo quedando uno entre paréntesis que forma una and 

con AB 

X = AB (1) 

Siendo finalmente X = AB está demostrado.

Ejercicios del tema 2: Algebra Booleana.

a- Resolver usando teoremas [(a+b)”. (c.d)”+ (a.b)’+(c+d)’]’=f

b- Diseñe el circuito lógico para el caso anterior y su tabla lógica

c- Simplifique x=[( m+n ).( m’+p ).( n’+p’ )]’

2.3. Simplificación de expresiones Algebraicas

Simplificación de expresiones algebraicas usando teoremas:

Consiste en aplicar a la expresión booleana o algebraica el caso más conveniente de los teoremas 

cuando la situación lo exija, para lograr reducir la operación sin cambiar la salida o respuesta. Por 

último dibujados el diagrama o circuito y lo comparamos con el de la expresión algebraica inicial.

Ejemplo 1

Simplificar la expresión: A+B.A ́ ́+C.C+(A+B) ́ ́ = F

S/n: 

A+B . A+ C +A+B= FA+B. A+C=F

Circuito inicial para: A+B.A ́ ́+C.C+(A+B)  ́ ́ = F

Observamos que ambos diagramas de circuito son iguales solo que el último es más reducido 

porque usa menos compuertas lógicas que el anterior.

Simplificación por medio de mapas de karnaugh:

El mapa de Karnaugh (también llamado como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado 

como mapa K o mapa KV) Es un diagrama que se usa para la simplificación de funciones booleanas 

algebraicas, fue diseñado por Maurice Karnaugh en 1950 quien fue físico matemático de los 

laboratorios Bell. 

Reglas para el uso de mapas de Karnaugh:

Los lazos de mini términos o maxi términos se hacen con base a la potencia del sistema numérico 

binario. 

Los lazos diagonales no están permitidos, solo los horizontales y verticales adyacentes.

Las variables que cambien en un lazo se deben eliminar. Las variables que no cambien se deben 

representar en dicho lazo. 

Realizar la menor cantidad de lazos o grupos con la mayor cantidad de maxi términos y mini 

términos.

Esta hecho de una serie de cuadros y posee 2 exp. N Filas y 2exp.N cuadros cada cuadrado tiene

un 0 ó un 1segun el valor que tome la función en cada fila además los mapas K se pueden usar 

para funciones que tengan hasta 6 variables.

Mapa K de 2 variables:

Ejemplo 2

Simplificación de la expresión booleana de dos variables:

f = a'b + ab' + ab

Solución:

En la primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)

En la segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)

La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)

La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

Se colocaron "1" en los cuadrados que equivalen a los valores de la Función.

Ejemplo 3

Simplifique usando mapa K

F = A B C + A B C + A B C + A B C

Solución:

Se crea el mapa K de la fig.17 y se escogen los grupos. Vemos que surgen 3 grupos de dos unos.

Se utiliza de forma igual que con tres variables para ubicar los ceros y unos en los cuadrados.

Observe el orden de las variables A, B,C, D que van de más significativo a menos significativo. Al 

igual que antes para las columnas AB, las filas CD llevan el orden 00, 01, 11, 00 para que haya 

adyacencia.

Lógica combinatoria: 

Son todos los sistemas de funciones lógicas con compuertas operando bajo una misma expresión 

algebraica o booleana, donde se puede emplear varios métodos de simplificación para reducir la 

cantidad de elementos combi nacional que tenga el sistema

Ejemplo 4

Entonces hacemos el diagrama final, representado en la fig.20

Podemos ver que el sistema quedo más reducido de elementos lógicos, primero tenía seis 

compuertas y finalmente quedo de cuatro lo cual significa que en su proceso de simplificación 

redujo dos compuertas y su función es la misma.

Ejercicios del tema 3:

Simplificación por medio de teoremas y de mapas de Karnaugh.

a. Simplifique mediante un mapa K: f=w’x’y’+x’y+w’x

b. Evaluar la función lógica para el caso anterior si w=0,y=1.

c. Realice el circuito lógico final del numeral b.